Definizione di frattale

Il frattale è una figura geometrica che si ripete allo stesso modo su scale diverse. Questa definizione non esclude la possibilità di trovare figure distinte dentro il frattale (durante l’ingrandimento). L’insieme di Mandelbrot è uno di questi.


Definizione di Benoit Mandelbrot

Si definisce frattale se la dimensione di Hausdorff-Besicovich è superiore alla dimensione topologica attuale.

La formula per calcolare la dimensione di Hausdorff-Besicovitch è: \; \frac{\log N}{\log l} \;

Dove N è la misura totale del frattale e l è la misura del lato.


Esempio

Prendiamo la curva di Von Koch

Curva di Von Koch
Impostiamo: It=0 Impostiamo: It=1
Curva di Von Koch con It=0 Curva di Von Koch con It=1

NB: It vuol dire iterazione

Avete notato? La grandezza della seconda figura è aumentata di \; \frac{1}{3} \; e misura \; \frac{4}{3} \; unità.

Man mano che l’iterazione cresce le dimensioni della figura aumenteranno fino a \; \frac{4^{I_t}}{3^{I_t}} \;.

Applicando la dimensione frattale il risultato è: \; \frac{\log{4^{I_t}}}{\log{3^{I_t}}} \;.

Calcolando la proprietà dei logaritmi, il risultato è: \; \frac{I_t \, \log{4}}{I_t \, \log{3}} \;.

Semplificando la frazione si ottiene:

\; \frac{\log{4}}{\log{3}} \;

Questa è la dimensione di Hausdoff della Curva di Von Koch.


Conclusioni

Questa definizione limita moltissimo il concetto di frattale. I frattali con tempo di fuga, per esempio, sono esclusi da questa definizione.

Studiosi di frattali oggi stanno ancora trovando una definizione appropriata di frattale.

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