La matematica dentro i Frattali

Come sono generati i Frattali? E quali sono le sue caratteristiche tecniche?

Come sono generati i Frattali?

I Frattali sono generati mediante:

  • computer
  • formule matematiche
  • iterazioni
  • algoritmi di generazione

La caratteristica più importante di un Frattale sono le iterazioni. Per ottenere risultati spettacolari, è necessario elaborare un Frattale con un numero sufficientemente alto di iterazioni. Tale numero può essere anche infinito.

Le macchine non hanno capacità computazionali infinite. Se, però, il numero di iterazioni è sufficiente alto, quasi tutte le imperfezioni non sono più visibili dall'occhio umano.

Tali imperfezioni possono essere nascoste anche se si ingrandisce un Frattale. Se l'ingrandimento, però, è troppo alto, tali imperfezioni diventeranno di nuovo visibili.

Per ovviare a tale problema, è necessario aumentare il numero di iterazioni richieste, durante il calcolo del Frattale. All'aumentare del numero d'iterazioni, il calcolo del Frattale diventa sempre più complesso, quindi più lento.

L'iterazione

L'iterazione è un singolo calcolo applicato ricorsivamente su una formula. Una ricorsione è l'applicazione del calcolo di una funzione che utilizza, come parametri, i risulati precedenti della stessa.

Per esempio, prendiamo la formula:

\[a_{n+1}=a^2_n+1\]

Poniamo \(a_0=2\), allora la prima iterazione è:

\[a_1=a^2_0+1=2^2+1=4+1=5\]

La seconda iterazione è:

\[a_2=a^2_1+1=5^2+1=25+1=26\]

La terza iterazione è:

\[a_3=a^2_2+1=26^2+1=676+1=677\]

E così via.

Frattali complessi possono essere anche essere generati mediante semplici calcoli matematici, ma richiedono complessi algoritmi di generazione per poterli visualizzare in maniera corretta ed efficiente.

Gli algoritmi di generazione dei Frattali

I Frattali si classificano in base all'algoritmo di generazione utilizzato. Le principali tipologie di Frattali sono:

  • Frattali generati con il sistema di Lindenmayer
  • Frattali con punto di fuga
  • Frattali di "fiamme" (Flame Fractals)
  • Attrattori caotici
  • Frattali tridimensionali e quadridimensionali
  • E altro ancora

I Frattali più semplici sono generati mediante il sistema di Lindenmayer. Per ogni iterazione, questo algoritmo ripete una figura per ogni singolo lato.

La figura iniziale su cui partire la ripetizione si chiama assioma. La regola è la modalità mediante il quale la singola linea deve essere ripetuta.

Prendiamo per esempio il fiocco di neve di Von Koch. L'assioma è:

Assioma del fiocco di neve di Von Koch
Assioma del fiocco di neve di Von Koch

La regola d'iterazione del fiocco di un singolo lato è:

Regola di trasformazione del fiocco di neve di Von Koch
Regola di trasformazione del fiocco di neve di Von Koch

L'assioma è un triangolo con tre lati uguali. La regola trasforma il singolo lato in un insieme di quattro lati. Applicando la regola sull'assioma per ogni lato, la figura diventa una stella di dodici lati. Si ottiene così il fiocco di neve alla prima iterazione:

Fiocco di neve di Von Koch, iterazione 1
Fiocco di neve di Von Koch, iterazione 1

La seconda iterazione trasforma in una figura di \(12 \times 4=48\) lati:

Fiocco di neve di Von Koch, iterazione 2
Fiocco di neve di Von Koch, iterazione 2

La terza iterazione trasforma in una figura di \(48 \times 4=224\) lati:

Fiocco di neve di Von Koch, iterazione 3
Fiocco di neve di Von Koch, iterazione 3

Dopo un numero sufficiente di iterazioni, la figura assomiglierà ad un fiocco di neve:

Fiocco di neve di Von Koch, iterazione 10
Fiocco di neve di Von Koch, iterazione 10

Da notare che, grazie ad un numero sufficientemente alto di iterazioni, il Frattale non presenta nessuna imperfezione visibile.

Conclusioni

I Frattali riproducono i processi di generazione già esistenti in natura, tipo fiocchi di neve, alberi, piante (come i cavolfiori) e così via.

Tali algoritmi sono utilizzati anche nella computer grafica per generare paesaggi realistici, riducendo al minimo lo sforzo umano per riprodurre lo stesso paesaggio.

Catena montuosa generata con un algroritmo di generazione frattale
Catena montuosa generata con un algroritmo di generazione frattale